Resolución de juegos I

Eliminación iterativa de estrategias estrictamente dominadas

Existen diferentes formas de encontrar soluciones de equilibrio en los juegos, siendo las más conocidas la “eliminación iterativa de estrategias estrictamente dominadas” y el “Equilibrio de Nash”, especialmente en los juegos estáticos. Los juegos dinámicos, se suelen resolver por inducción hacia atrás, encontrándose los Equilibrios de Nash Perfectos en Subjuegos (E.N.P.S.), como veremos más adelante.

La eliminación iterativa de estrategias estrictamente dominadas consiste, como su propio nombre indica, en ir eliminando una tras otra las estrategias que cualquiera de los jugadores nunca llevaría a cabo, debido a que siguiendo otra estrategia podría obtener siempre un pago mayor. Al realizar la eliminación de una estrategia, los pagos que esta contenga no condicionarán las sucesivas eliminaciones que se vayan efectuando posteriormente.

Lo veremos mucho más claramente con el ejemplo de la figura 3, en el que las posibles acciones entre las que puede elegir el jugador nº 1 son A y B, mientras que el jugador nº 2 puede optar entre X, Y, y Z:

Analizando detenidamente la matriz de pagos, podemos apreciar que el jugador nº 2 nunca debería optar por Z. En efecto, los pagos que recibiría en función de lo que eligiese el jugador nº 1 (11 si el jugador nº 1 opta por A, y 2 si el jugador nº 1 opta por B), son siempre menores que los que podría percibir si eligiese la alternativa Y (12 > 11 y 3 > 2). Es decir, haga lo que haga el otro jugador, siempre obtendrá una mejor remuneración si él elige Y a si elige Z. Diremos en ese caso que la estrategia Z está estrictamente dominada por X, por lo que ningún decisor racional la utilizaría.

Eliminaremos, por tanto, a partir de este momento, esa estrategia, para poder seguir analizando el juego resultante, como vemos en la figura 4.

Entre las estrategias que le quedan al jugador nº 2 (X e Y), ninguna domina a la otra (pues 7 < 12 y 10 > 3).

Ahora, sin embargo, es el jugador nº 1 quien tiene una estrategia dominada: la estrategia A. En efecto, los pagos que percibe con ella son siempre menores que los que podría obtener si optase por la estrategia B, haga lo que haga el jugador nº 2 (9 > 8 y 9 > 6).

Es importante darse cuenta que el jugador nº 1 no podría eliminar la estrategia A -es decir, ésta no estaría estrictamente dominada por B-, si previamente no hubiésemos eliminado la estrategia Z para el jugador nº 2. El razonamiento es el siguiente: dado que el jugador nº 2 nunca utilizará la estrategia Z (pues sería irracional que lo hiciera) dejamos de considerarla, y por ello el jugador nº 1 nunca utilizará la estrategia A, pues siempre obtendría mejor pago utilizando la estrategia B.

Así, con el juego inicial, para el jugador nº 1, teníamos que 9 > 8 y 9 > 6 como ahora, pero 0 < 10. Es decir, que en el caso de que el jugador nº 2 optase por Z, el jugador nº 1 obtendría una mayor remuneración con la estrategia A que con la B, por lo que no podíamos decir que la primera estuviese estrictamente dominada por ésta. Sin embargo, dado que el jugador nº 1 sabe que el jugador nº 2 nunca utilizaría la estrategia Z, al estar ésta dominada estrictamente por Y, el juego se ha reducido y ahora sí que A está estrictamente dominada por B, por lo que procederemos a eliminarla en el juego de la figura 5.

Ya se han reducido notablemente las posibilidades de elección para ambos jugadores -de hecho, para el jugador nº 1 sólo queda la estrategia B, mientras que al jugador nº 2 aún le quedan las estrategias X e Y-. Dado que el jugador nº 2 sabe que el jugador nº 1 no usará la estrategia A, pues el jugador nº 1 sabe que el jugador nº 2 nunca utilizará Z, la decisión final la tomará el jugador nº 2, entre X e Y. Obviamente, dado que 10 > 3, optará por la estrategia X. Lo vemos en la figura 6.

Como podemos observar, el equilibrio del juego se produce cuando el jugador nº 1 opta por B, y el jugador nº 2 elige X, obteniendo, respectivamente, unos pagos de 9 y 10. Ambos pagos son inferiores a los que podrían haber obtenido si el equilibrio hubiese sido (A, Z) -conjunto de estrategias que hemos sombreado más suavemente en la matriz de pagos-, dando lugar por tanto a un resultado que es ineficiente en el sentido de Pareto (puesto que 9 < 10 y 10 < 11); ambos podrían mejorar. Volveremos a incidir sobre este aspecto más adelante, cuando expliquemos el concepto de Equilibrio de Nash.