Resolución de juegos II

Eliminación iterativa de estrategias estrictamente dominadas por una estrategia mixta.

En ocasiones, en el proceso de eliminación iterativa de estrategias estrictamente
dominadas, podemos llegar a una situación en la que no encontremos ninguna posibilidad de eliminar ninguna estrategia. Podemos optar en ese caso por ver si hay estrategias que estén dominadas por una estrategia mixta. Una estrategia mixta es una combinación lineal de varias estrategias. Consideramos entonces que los jugadores no están obligados a elegir una única estrategia, sino que pueden emplear una u otra conforme a una determinada probabilidad. De nuevo con un ejemplo, como el de la figura 7, podemos ver más claramente cómo se llevaría a cabo el proceso de eliminación de estrategias estrictamente dominadas cuando tenemos en consideración la posibilidad de emplear
estrategias mixtas —frente a las estrategias puras que hemos utilizado hasta ahora—.

En esta matriz, podemos apreciar que no existe ninguna estrategia que esté estrictamente dominada —en estrategias puras— por ninguna otra, ni para el jugador nº 1 ni para el jugador nº 2; es decir, no hay ninguna estrategia en la que el jugador perciba siempre un pago menor que utilizando otra. Sin embargo, en esta ocasión existe una estrategia que sí está dominada por una estrategia mixta. Se trata de Z. En efecto, imaginemos que el jugador nº 2 utilizase con probabilidad 0,5 la estrategia X, y con probabilidad 0,5 la estrategia Y. El pago esperado que obtendría sería, si el jugador nº
1 eligiese A, de ½ ·11+ ½·14 =12,5. Igualmente, si el jugador nº 1 optase por B, el pago esperado del jugador nº 2 sería:½ ·10+ ½·3 =6,5.
Como se puede apreciar, ambos pagos esperados son mayores que los que obtendría empleando la estrategia Z, pues 12,5 > 12 y 6,5 > 6. Podríamos, por tanto, prescindir de la estrategia Z en la figura 8, siguiendo el proceso de eliminación iterativa de estrategias estrictamente dominadas.

A partir de este momento, se abre la posibilidad de continuar la eliminación iterativa de estrategias estrictamente dominadas fijándonos simplemente en las estrategias puras. Así, para el jugador nº 1, la estrategia A está estrictamente dominada por B, pues sus pagos son siempre mejores en ésta última: 9 > 8 y 9 > 6, como vemos en la figura 9.

Finalmente, dado que el jugador nº 1 optará por B, es el jugador nº 2 quien tiene que elegir entre la estrategia X y la estrategia Y, y lógicamente optará por X dado que con ella obtendrá un mejor pago (10 > 3). Lo vemos en la figura 10.

Como se puede apreciar, el equilibrio del juego se produce cuando el jugador nº 1 opta por B, y el jugador nº 2 elige X, obteniendo, respectivamente, unos pagos de 9 y 10 —como en el caso anterior—. Ambos pagos son inferiores a los que podrían haber obtenido si el equilibrio hubiese sido (A, Z), dando lugar de nuevo a un resultado ineficiente en el sentido de Pareto (puesto que 9 < 10 y 10 < 12); ambos podrían mejorar.
No siempre, lógicamente, el resultado será Pareto-inferior como en los dos ejemplos propuestos, aunque con ellos pretendemos reflejar la existencia de esta posibilidad.
Un caso extremo de dominación es aquel en el que una estrategia de cada uno de los jugadores constituye para él la mejor respuesta ante cualquiera de las elecciones que el otro pueda realizar; en ese caso nos encontraríamos ante un equilibrio en estrategias dominantes.

En el “Dilema del Prisionero”, por ejemplo, que trataremos más adelante detenidamente, existe un equilibrio en estrategias dominantes. La matriz de pagos de la figura 11 muestra también un equilibrio en estrategias dominantes.

En este caso, el jugador nº 1 siempre preferirá utilizar la estrategia B, puesto que, independientemente de lo que elija el jugador nº 2, obtendrá con ella mejores resultados que con la estrategia A. Igualmente, para el jugador nº 2 la estrategia dominante es Y, pues con ella obtiene siempre un mejor pago que utilizando cualquiera de las otras dos.
El equilibrio, por tanto, se producirá en (B, Y), con unos pagos respectivos de 9 y 13, como se puede apreciar en la figura 12.

Aunque con la utilización de las estrategias mixtas, como vimos anteriormente, se amplía la resolución de los juegos mediante el procedimiento de eliminación iterativa de estrategias estrictamente dominadas, no todos los juegos se pueden resolver utili-zando esta metodología.

Lo veremos con otro ejemplo numérico en la figura 13, en el que solamente hemos variado un pago del jugador nº 1 —el que percibe cuando la combinación de estrategias es (B, Z)— y otro del jugador nº 2 —el que recibe cuando la combinación de estrategias es (B, Y)—.

En este caso, por más que lo intentásemos, no podríamos encontrar una combinación de estrategias que dominase estrictamente a ninguna otra, para ninguno de los dos jugadores.