Resolución de juegos III

El equilibrio de Nash

Otra forma de resolver los juegos es buscar el o los Equilibrios de Nash existentes en el juego. Un Equilibrio de Nash es una combinación de estrategias en la que la opción elegida por cada jugador es óptima dada la opción elegida por los demás. Por tanto, si se encuentran en un Equilibrio de Nash, ninguno de los jugadores tendrá incentivos individuales para variar de estrategia.
Es importante señalar que un Equilibrio de Nash no necesariamente ha de ser un equilibrio en estrategias dominantes —donde la opción elegida por un jugador es óptima ante cualquier estrategia de los demás—. Lo contrario, no obstante, sí que es cierto: un equilibrio en estrategias dominantes obligatoriamente ha de ser un Equilibrio de Nash —y, además, será el único Equilibrio de Nash posible del juego—.
Veamos el ejemplo de la figura 14.

En este caso, si buscáramos resolver este juego mediante la eliminación iterativa de estrategias estrictamente dominadas, veríamos que no podríamos desechar ninguna de ellas —aunque se puede apreciar que la estrategia B domina débilmente a la estrategia A para el jugador nº 1—.
Sin embargo, según la metodología del Equilibrio de Nash sí que vamos a poder encontrar un equilibrio —como mínimo—.
Así, podemos apreciar que (B, X) es un Equilibrio de Nash. En efecto, si se en-cuentran ambos jugadores en esa combinación de estrategias, ninguno tendrá incentivos individualmente para variar la suya (el jugador nº 2 saldría perdiendo, mientras que el jugador nº 1 no saldría ganando).
Una forma muy habitual de encontrar los Equilibrios de Nash a partir de la representación matricial de un juego consiste en subrayar los pagos correspondientes a la estrategia elegida por cada jugador en función de lo que pudiera elegir el otro.
En el gráfico anterior, si el jugador nº 1 elige A, la mejor respuesta para el jugador nº 2 es optar por Y, obteniendo un pago de 14. Si el jugador nº 1 elige B, lo mejor para el jugador nº 2 es optar por X, pues 10 > 3. Subrayamos a continuación ambos pagos en la figura 15.

Procedemos análogamente para el otro jugador. Si el jugador nº 2 elige X, el jugador nº 1 es indiferente entre A y B, pues en ambos casos obtiene el mismo pago (9), por lo que subrayamos ambos. Por último, si el jugador nº 2 elige Y, el jugador nº 1 optaría por B pues 10 > 6.

Aquella casilla en la que ambos pagos estén subrayados, constituye un Equilibrio de Nash —en este caso, en la figura 16, es (B, X)—. En efecto, en esos casos la estrategia elegida por cada jugador es óptima dada la del otro, como proponía la definición del Equilibrio de Nash.
Aunque en el caso propuesto sólo aparece un Equilibrio de Nash, esta no es la única posibilidad. El caso siguiente, de la figura 17, por ejemplo, muestra una matriz de pagos en la que existen dos Equilibrios de Nash —en estrategias puras—:

En este ejemplo, como se puede apreciar, existen dos Equilibrios de Nash en es-trategias puras, pero ambos jugadores no son indiferentes acerca de en cuál de ellos desearían encontrarse; obviamente, (A, X) es superior en el sentido de Pareto a (B, Y) y ambos individuos desearían situarse en el primero, pero nada nos asegura que esto vaya a suceder así en ausencia de comunicación; si se encontraran inicialmente en (B, Y), ninguno de ellos tendría incentivos individualmente para cambiar de estrategia.
En efecto, si los individuos pudieran comunicarse entre sí, se podrían de acuerdo en seleccionar (A, X), pero esto no está tan claro si los jugadores no pueden comunicarse —es decir, si se encontraran en un juego no cooperativo en lugar de estar en un juego cooperativo—.
En el apartado anterior vimos un método de búsqueda de equilibrios de los juegos que era la eliminación iterativa de las estrategias estrictamente dominadas. Un Equilibrio de Nash necesariamente habrá de sobrevivir a la eliminación iterativa de estrategias estrictamente dominadas. Si no hubiésemos tenido en cuenta ese requisito restrictivo —que las estrategias estén estrictamente dominadas—, podría darse el caso de que en ese proceso se hubiese eliminado algún Equilibrio de Nash, como se puede apreciar en la matriz de pagos siguiente de la figura 18, en la que existen dos Equilibrios de Nash, que son (A, Y) y (B, X).

Si realizásemos el proceso de eliminación iterativa de estrategias débilmente do-minadas —es decir, sin exigir que las estrategias eliminadas estén estrictamente dominadas—, deberíamos, en primer lugar, eliminar la estrategia B para el jugador nº 1, pues con ella nunca obtiene un pago mejor que con la otra, y en algún caso su pago es inferior, dado que 9 = 9 y 10 < 16.
A continuación, el jugador nº 2 debería elegir entre la estrategia X e Y, quedándose lógicamente con esta última, pues 14 > 11, como se aprecia en la matriz de pagos de la figura 19.

De esta forma, como se puede apreciar en la figura 19, el Equilibrio de Nash (B, X) no ha sobrevivido a la eliminación iterativa de estrategias débilmente dominadas.